Welkom in Hotel Oneindig!

Ik moest ergens overnachten en omdat alle andere hotels vol waren, moest ik wel naar dit hotel. Maar neem van mij aan: als je niet wilt opgaan in de grote massa, ga dan niet naar dit hotel!

Bij de receptie ging het er al heel vreemd aan toe. De oude man die daar rondscharrelde bleef maar staren naar de vakjes met nummers waarin de sleutels ontbraken. “Weet u,” mompelde hij: “Eigenlijk zitten we vol. En omdat u niet van tevoren heeft geboekt moet ik het eerst met de manager bespreken.” De receptionist ging naar achteren en kwam tien minuten later weer tevoorschijn. Hij had een vreemde grijns op zijn gezicht. “U heeft geluk! We hebben iedereen een kamer op kunnen schuiven. Kamer 1 is daardoor vrij. Als u hier even wilt tekenen.”

Ik was allang blij dat ik een kamer had en ik krabbelde mijn handtekening op het formulier. Daarop stond de check-out tijd vermeld en een uitleg over de luidspreker waarvan elke kamer is voorzien. Hotelgasten, zo las ik, waren verplicht de aanwijzingen op te volgen die de receptie via de luidspreker doorgaf.

Nog geen minuut nadat ik de koffers in mijn kamer had neergeploft, klonk een mededeling door de luidspreker. “Beste gasten, het spijt mij verschikkelijk,” klonk de stem van de receptionist. “Er is een bus met gasten gearriveerd en we hebben twintig kamers nodig. Iedereen wordt verzocht twintig kamers op te schuiven. Tel bij uw kamernummer 20 op en dat is uw nieuwe kamernummer.”

En dus pakte ik mijn koffers op. De gang krioelde van de hotelgasten. Mijn buren hadden hun spullen duidelijk bij elkaar gegraaid. Maar aan het eind van de gang hadden ze het kennelijk vaker meegemaakt, want daar liepen ze met gepakte koffers rond. Na een paar minuten was de rust weergekeerd en had iedereen zijn nieuwe kamer ingenomen. Ik was er in ieder geval op vooruit gegaan. In plaats van een bloemetjesbehang had mijn kamer nu witte muren en bovendien ook een balkon.

Een half uur later kwam er wéér een boodschap door de luidspreker. Er was een chartervlucht geland en of iedereen 328 plaatsen op kon schuiven! Op een van de hogere verdiepingen raakte ik even de weg kwijt. Ik liep een gang in met kamernummers 3.187.345.696 tot en met 3.187.345.744. In wat voor een gekkenhuis was ik beland?

De receptionist luisterde aandachtig toen ik om opheldering vroeg. “We proberen iedereen van dienst te zijn,” legde hij uit. “Dit hotel behoort tot de Hilbertketen en dus mogen we niemand een kamer weigeren. Zo lang iedereen onze aanwijzingen opvolgt en doorschuift, is er altijd plaats voor nieuwe gasten.”

“Altijd plaats? Maar wat gebeurt er dan in hemelsnaam met de mensen in de laatste kamer?”

“Maakt u zich maar geen zorgen,” glimlachte de receptionist. “Er is gewoon geen laatste kamer. Zoals onze naam al aangeeft, hebben we een oneindig aantal kamers. Op het moment dat u arriveerde waren we even vol omdat we een oneindig aantal gasten hadden. Maar oneindig + 1 is nog steeds oneindig. Zo konden we ook voor u een extra kamer vrijmaken.”

De telefoon ging receptionist hing in lichte paniek op.

“Een noodgeval,” hoorde ik hem mompelen, terwijl hij de microfoon greep die met de luidspreker in de hal was verbonden. “Er komt een bus aan met oneindig veel passagiers. We hebben oneindig veel nieuwe kamers nodig! Doe alstublieft uw kamerdeur open en schrijf uw kamernummer op een stuk papier. Heeft u dat? Vermenigvuldig uw kamernummer met twee en schrijf de uitkomst daarvan op. Dit wordt uw nieuwe kamernummer!”

Dat is wat iedereen deed. De persoon in kamer 1 ging naar kamer 2 en de familie in kamer 2 ging naar kamer 4. Het stel in kamer 3 ging naar kamer 6. Kamer 12.652 werd bezet door mensen uit kamer 6.327, enzovoort. Inmiddels was de bus er en stroomden oneindig veel mensen in de hal. Waar moesten die naartoe?

“Ze kunnen de oneven kamers nemen,” legde de receptionist uit. “Er zijn immers oneindig veel oneven getallen. Door de verdubbeling van de kamernummers kwamen alle oneven getallen vrij.”

Toen er oneindig veel bussen met oneindig veel mensen aankwamen, ben ik snel vertrokken. Terwijl door de luidspreker de meest ingewikkelde aanwijzingen volgden om de gasten te verplaatsen en de passagiers uit hun bussen te krijgen, vroeg ik de manager om de rekening.

“Het laatst was u in kamer 798? Dan bent u ons niets verschuldigd. Doordat uw kamer vrijkomt kan iedereen een kamer terug. Uw rekening zal worden betaald door kamer 799. Hun rekening wordt betaald door de familie uit kamer 800, van wie de rekening….

Ik heb niet verder geluisterd en ben gillend het hotel uitgerend. Waarschijnlijk telt de hotelmanager nu nog tot in het oneindige door. Het belangrijkste is dat mijn belevingen zo snel mogelijk in alle reisgidsen moeten komen. Een hotel waar altijd plaats is, is leuk, maar niet als je oneindig vaak van kamer moet wisselen!

David Hilbert (1862 – 1943) legde in 1900 zijn vakgenoten 23 grote vraagstukken voor. De problemen die Hilbert zijn vakgenoten voorlegde gingen over verschillende onderwerpen. Het was dan ook zijn bedoeling om de hele wiskunde van de komende eeuw vooruit te helpen, niet één deelgebied.

De Duitse wiskundige Georg Cantor publiceerde de eerste systematische studie over oneindigheid. Cantor ontdekte dat er verschillende ordes van oneindigheden bestaan. De laagste daarvan noemde hij alef-nul (alef is de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet). Alef-nul bevat alle ‘te tellen’ oneindigheden, zoals de kamernummers in Hilbert’s hotel. Maar daarna komt alef-één, die nog ‘oneindiger’ is dan alef-nul. Dat er een oneindigheid moet bestaan die méér elementen telt dan alef-nul, toonde Cantor aan met zijn diagonaalmethode.

Cantor ging als volgt te werk. Stel dat je een lijst kunt maken van álle getallen tussen 0 en 1. Die lijst moet natuurlijk oneindig lang zijn. Een paar getallen uit die lijst zijn bijvoorbeeld:

(1) 0,*4*765198… (2) 0,2*9*14836… (3) 0,74*2*5398… (4) 0,915*7*327…

Bevat de hele lijst wel álle getallen tussen 0 en 1? Kijk eens naar de vetgedrukte getallen in het voorbeeld. Als je die achter een komma plaatst, ontstaat het getal ,4927… Trek je van elk afzonderlijk cijfer van dit getal 1 af, dan ontstaat het nieuwe getal ,3816…

Dit nieuwe getal is echter niet te vinden in de oneindige lijst! Het verschilt van (1) omdat het eerste cijfer niet gelijk is aan het eerste cijfer van (1). Er is 1 van afgetrokken. Het verschilt echter ook van (2) omdat het tweede cijfer 1 kleiner is dan dat van (2). En zo gaat dat verder voor de hele reeks. Je hebt dus een nieuw getal tussen 0 en 1 gevonden die nog niet in de lijst voorkwam. Voeg je dat nieuwe getal alsnog aan de lijst toe, dan kan er weer een nieuw ‘diagonaalgetal’ worden geconstrueerd! Dit getallencontinuüm’, dat is te vergelijken met het oneindige aantal inktpuntjes waarin een lijnstuk kan worden verdeeld, is niet te tellen en dus ‘oneindiger’ dan de verzameling gehele getallen.

Om de zaak nog erger te maken, vond Cantor nóg grotere orden van oneindigheid dan alef-één. Oneindig veel zelfs, Alef-twee, alef-drie en alef-vier vormen maar het topje van een onafzienbare ijsberg.

Cantor was doorgedrongen in regionen die nog nooit eerder door iemand waren verkend. Heel triest is dat de meeste zijn tijdgenoten zijn werk niet begrepen en zijn bevindingen belachelijk maakten. Vooral de onophoudelijke en door een ziekelijke jaloezie gedreven kritiek van zijn vroegere leermeester Leopold Kronecker waren slopend. De laatste jaren voor zijn dood in bracht Cantor door in een tehuis voor geestelijk gestoorden.

Of dit alles is dat is te vertellen over oneindigheid? Bij lange na niet, want er bestaat ook zoiets als de Absolute Oneindigheid. Dat is de allerhoogste orde van de alefs, die in de wiskunde wordt voorgesteld door de Griekse hoofdletter omega. Het enige dat we tot nu toe met zekerheid daarover weten, zijn de eigenschappen die omega niet heeft. Het in kaart brengen van alle verschillende oneindigheden is dus nog niet ten einde.

Bel direct